5. Исследование функции и построение ее графика. Исследование функции и построение ее графика


Исследование функции и построение ее графика

1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.

   

таким образом, область определения функции:

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ;

с осью .

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

   

Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

4) Найдем асимптоты графика функции.

В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

   

Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты , где

   

   

   

Получаем уравнение наклонной асимптоты .

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

   

   

Найдем критические точки: при

   

не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

   

То есть точка — точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

   

   

   

   

Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.

ru.solverbook.com

Исследование функций и построение графиков

С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат – служат опорными точками при исследовании функций и построения их графиков.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

Функция y = f(x) называется чётной, если

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят интервалы монотонности функции, точки её экстремума.

Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 15).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной  (рис. 16).

Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 17).

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через меняет знак, то

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график функции.    

 Пример 4. Исследовать функциюи построить её график.

Решение.

1. Область определения – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,  2. Функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравненияимеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравненияполучаемт.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

-

Возрастает

Выпуклый

0

0

-

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

-

-

Убывает

Выпуклый

1

-

0

- точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

-

+

Убывает

Вогнутый

+∞

-

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

   8. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 18).

Асимптоты ОЭФ

studfiles.net

Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Решение.

1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:

Область определения: $x^2-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1;\,\,\, x\neq -1$ $D(f)=(-\infty; -1)\cup(-1; 1)\cup (1; +\infty).$. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точки $x=-1$ и $x=1$ - точки разрыва.

 функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодичная.

Точка пересечения с осью Oy: .

Точка пересечения с осью Ox: $y=0\Rightarrow\frac{1}{x-1}=0.$ Следовательно,  при всех из области определения. Т.е. кривая проходит через точку  и не пересекает ось Ох.

2)    Найдем асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции  в этих точках.

. Таким образом, оба предела бесконечны и прямая  является вертикальной асимптотой.

. Ни один из пределов не рамен бесконечности, то есть в этой точке асимптоты нет – в точке имеем устранимый разрыв.

Наклонные асимптоты задаются уравнением , где 

 .

Таким образом прямая  - асимптота.

3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.

 

 Следовательно экстремумов функция не имеет.

x

1

y'

Не существует

-

y

 

 

Не существует

 

Производная  всюду имеет знак «-». Следовательно, функция убывает на всей области определения.

4)  Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

 Следовательно, точек перегиба функция не имеет.

x

1

y''

не существует

+

y

не существует

При     , то есть функция выпукла вверх, При     , то есть функция выпукла вниз.

5)    Используя полученные данные, построим график.

 

   

kontrolnye.com

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

    1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
    2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  1. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
  2. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
  3. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
  4. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

  1. . 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

    Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

    Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

    2. . Критические точки: x1 = 1; x2= –1.

    3.

    4. а) Вертикальных асимптот нет

    б) . Асимптота – y = 0.

  2. .
    1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

      Пересечение с осью Ox: .

    2. .
    3. а) Вертикальных асимптот нет

      б).

      Наклонных асимптот нет.

  3. .
    1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

    2. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.

      б).

      Наклонная асимптота y = 0.

  4. .
    1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями координат нет.

    2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
    3.  

    4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

      б)

      Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = ex и y = e-x

Проведем исследования функции y = th x.

    1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.
    2. Точка пересечения с осями координат .
  1.  

    , функция возрастает на (–∞; +∞).

    1. Вертикальной асимптоты нет.
    2. .

y = cth x

  1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
  2.  

    убывает на .

    1. При x → +∞

www.toehelp.ru

Исследование функции и построение её графика — Мегаобучалка

 

Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2>х1 следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающейна интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2>х1 следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

 

Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х¹х0 этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумомфункции .

Аналогично, если для всякой точки х¹х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство , то х0 называется точкой минимума, а число – минимумомфункции .

Экстремумамифункции называются ее максимумы и минимумы. Точками экстремума функции называются её точки максимума и минимума.

Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х0 из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.

Необходимое условие экстремума:если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .

Необходимое условие экстремума не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, необязательно являются точками экстремумов функции.

Достаточные условия экстремума:если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Исследование функции и построение её графика. Стр.1

График функции называется выпуклым(или выпуклым вверх) на интервале xÎ(a;b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

График функции называется вогнутым (или выпуклым вниз) на интервале xÎ(a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.

Например, при xÎ(a;х0) график выпуклый, при xÎ(х0;b) вогнутый, М0(х0;y0) – точка перегиба.

 

В точке перегиба касательная пересекает график (конечно, при условии, что касательная существует в этой точке).

Достаточное условие выпуклости, вогнутости:если функция является дважды дифференцируемой и ее сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:

при <0 – выпуклость вверх,

при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).

Необходимое условие для точки перегиба: если x0 – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Необходимое условие для точки перегиба не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются подозрительными на перегиб или критическими точками функции по её второй производной.

Достаточное условие для точек перегиба:если вторая производная при переходе через точку х0, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х0является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х0, то перегиба нет.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Для кривой, которая является графиком функции , различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Исследование функции и построение её графика. Стр.2

 

Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий: или , т.е. если значение х=а является точкой разрыва второго рода функции или границей ее области определения.

Прямая является наклонной (при k=0 горизонтальной) асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

и . (1)

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

При практическом вычислении пределы (1) могут быть различными при х®+¥ и при х®–¥.

Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:

1) найти область определения функции, точки разрыва;

2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;

3) найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства;

4) найти асимптоты графика функции;

5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;

6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

7) используя результаты исследования, построить график функции.

 

megaobuchalka.ru

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА 1 (признак монотонности дифференцируемой функции).

Пусть функция дифференцируема. Еслитоне убывает, если жетоне возрастает на.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – произвольные точки, тогдаудовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на(непрерывность следует из дифференцируемости). Напишем формулу Лагранжа

где .

Если и,тоне убывает.

Аналогично показывается, что если тоне возрастает. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы следует, что если , товозрастает, а приубывает.

Интервалы, на которых функция либо убывает, либо возрастает, называются интервалами монотонности.

ПРИМЕР. Найти интервалы монотонности функции

Исследуем знак производной (рис. 29).

+ – +

-1 3 х

Рис. 29

Функция убывает на и возрастает на.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции) Пусть функция имеет в точкеэкстремум. Если в этой точке существует производная, то

Эта теорема является теоремой Ферма и была доказана ранее.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимое условие экстремума достаточным не является.

у

О x

Рис. 30

ПРИМЕР. ,

но точка точкой экстремума не является (рис. 30).

y

0 x

Рис. 31

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Рассмотрим функцию (рис. 31).

Так как топоэтому– точка минимума. Функция непрерывнане существует.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум не только в тех точках, где , но и в тех, гдене существует.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Критическими точками функции называются точки, в которыхилине существует; при этом точки, в которых, называютсястационарными точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума непрерывной функции). Пусть непрерывная функция дифференцируема всюду наза исключением, быть может, критической точки. Еслиприипри, то– точка минимума; если жеприипри, то– точка максимума.

То есть, если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+», то в критической точке функция имеет минимум; если с «+» на «-» - то максимум; если же при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума в точке нет.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если при , то по теореме 1убывает. Если при, товозрастает. Значит,– точка минимума, так как

Если при , а при, тослева отвозрастает, а справа – убывает по теореме 1. Значит,– точка максимума по определению.

Если окажется, что (или) прии при, то слева и справа отвозрастает (убывает), следовательно,точкой экстремума не является. Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Найти экстремумы функции

Исследуем знак производной (рис. 32).

– –+

0 3 х

Рис. 32

В критической точке экстремума нет, в критической точке– минимум и

Пусть график функции имеет касательные во всех точках интервала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График функции называетсявыпуклым вверх (вниз) на , если во всех точкахон лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

y

a О b x

Рис. 33

На график

выпуклый вверх, на – выпуклый вниз (рис. 33).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точкой перегиба графика функции называется точка, отделяющая участок графика, выпуклый вверх, от участка, выпуклого вниз.

В этой точке график, можно сказать «перегибается» через касательную.

ТЕОРЕМА 4. (достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную. Тогда, если, то ее график имеет выпуклость, направленную вверх, если, то график функции имеет навыпуклость, направленную вниз.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения производной следует, что – угловой коэффициент касательной к графику в точке. Заметим (рис. 34), что на участке графика, выпуклом вверх, касательная поворачивается по часовой стрелке, то есть уголменяется от острого к тупому, поэтомуубывает. На участке графика, выпуклом вниз, касательная поворачивается против часовой стрелки, то естьменяется от тупого к острому ивозрастает.

Пусть убывает по теореме 1, значит,убывает, и график имеет выпуклость, направленную вверх.

Пусть возрастает по теореме 1, и график имеет выпуклость, направленную вниз.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 5 (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки перегиба. Тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Допустим,. Так какпо условию непрерывна, то по теореме об устойчивости знака непрерывной в точке функции существует окрестность точки, в пределах которой, то естьи справа, и слева от точки. Таким образом, по теореме 4имеет выпуклость, направленную вниз, и справа, и слева от этой точки. Тогдапо определению точкой перегиба не является. Также приводится к противоречию предположение о том, что. Так как по условиюсуществует, то, следовательно,, что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 6 (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точкии. Тогда, если при переходе черезменяет знак, то– точка перегиба; еслине меняет знак, тоточкой перегиба не является.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказать самостоятельно, использую теорему 4.

ПРИМЕР. Построить график функции

Ранее были найдены интервалы монотонности этой функции и .

–точки перегиба (рис. 34), .

– –+

0 3 х

+ – +

0 2 х

Рис. 34

Строим график с учетом информации о знаках и(рис. 35):

y

20

5

О 1 2 3 x

-5

Рис. 35

studfiles.net

5. Исследование функции и построение ее графика

Сначала напомним определения четной, нечетной, периодической функции.

Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области определения она определена в точке x и f(x) = f(x) (соответственно f (x) = f (x) ). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 7а, 7б).

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T  0, если для любого значения x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T– наименьший положительный период. График периодической функции с периодом T получается повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 7в).

Примерами четных функций являются cosx, chx, |x|, x2. Нечетные функции: sin x, sh x, tg x, ctg x, th x, cth x, x3. Периодические функции: sin x, cosx, (наименьший положительный период 2π), tg x, ctg x, (наименьший положительный период π).

Схема исследования функции

Исследование функции y=f(x) и построение ее графика можно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения.

2. Исследовать на четность, нечетность и периодичность.

3. Исследовать функцию на монотонность, экстремумы.

4. Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

5. Исследовать функцию на асимптоты.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями системы координат.

Схема построения графика функции

График можно строить в следующей последовательности.

1. На оси Ох выделить область определения функции.

2. Начертить все асимптоты, если они есть.

3. Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.

4. Нанести точки перегиба, если они есть.

5. Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.

6. При необходимости исследовать поведение функции при x →+ ∞ и ∞.

7. Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение графика вблизи асимптот и при x →+ ∞ и ∞.

8. Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.

9. Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечетная), то график начертить симметрично относительно оси Оу (соответственно начала координат). Если функция периодическая с наименьшим периодом T > 0, то построить часть графика на одном интервале длины T и повторить ее через период.

Типовые примеры

Провести полное исследование функции и построить ее график.

1) .

►Функцию исследуем согласно схеме.

1) Область определения – множество всех действительных чисел, таких, что x  0. Точка x = 0 является точкой разрыва функции.

2) Функция не является четной, нечетной, периодической.

3) Найдем первую производную:

Решим уравнение y = 0: Производная не существует в точкеx = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является критической. Таким образом, критическими являются точки x = -2 и x = 1. Разобьем им область определения на интервалы и нейдем в них знаки производной. Так как и, то знак производной совпадает со знаком квадратного трехчлена. Его значение в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) отрицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-∞, -2) и (1, +∞), убывает в интервалах (-2, 0) и (0, 1), x = -2 – точка максимума, максимальное значение равно x = 1 – точка минимума, минимальное значение равно

4) Найдем вторую производную:

Вторая производная существует во всех точках области определения функции, значит, точка перегиба может быть только при таких значениях х, что у′′ = 0. Решив уравнение , получимх = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции на интервалы. Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах, возьмем в каждой из

Рис. 13

них по одной точке (например, -1, 0.1, 1) и найдем знаки у в этих точках: у(-1) < 0, у(0.1) < 0, у(1) > 0. Следовательно, у< 0 в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), у> 0 в интервале (0.4,+∞).

Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (-∞,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в интервале (0.4,+∞), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба,

5) Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва x = 0. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

,

Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x → 0 слева, при этом график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в -∞ (вниз). Горизонтальных асимптот нет, так как

Найдем наклонные асимптоты:

.

.

По правилу Лопиталя

.

.

Таким образом, b = -3 и прямая у = х – 3 является наклонной асимптотой при x →±∞.

Рис.14

6) Так как в точке x = 0 функция не определена и

, ,

то график функции “подходит» справа к началу координат.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ох , решим уравнение

у(х) = 0: Значит, график пересекает осьОх при x = 2.

Построим график функции по результатам исследования, следуя схеме построения графика, описанной выше.

1) Область определения не содержит точку 0, значит, график не пересекает ось Оу.

2) Начертим асимптоту у = х – 3, вертикальная асимптота совпадает с осью Оу.

3) Наносим точки А (-2, ≈-6.60) и В (1, ≈-0.37), где функция достигает соответственно максимума и минимума.

4) Наносим точку перегиба D (0.4, ≈-0.13).

5) Отметим начало координат, к которой “подходит» график слева, и точку С (2, 0) пересечения графика с осью Ох.

6) Так как и, то приx →-∞ график “уходит» вниз, а при x →+∞ - вверх.

7) Поскольку прямая у = х – 3 асимптота при x →-∞, то проводим кривую от А влево и вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х – 3. При этом выпуклость направим вверх. Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D «убывающей» кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В «убывающей» кривой выпуклостью вниз. Соединим точку В с точкой С «возрастающей» кривой выпуклостью вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы она приближалась к асимптоте у = х – 3.

8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с результатами исследования.

9) Для уточнения графика найдем несколько точек вблизи асимптот.

Соответствующие точки на рисунке обозначены буквами P, Q, T . На рисунке приведен увеличенный фрагмент F графика, где более точно изображено поведение графика около точки перегиба D. ◄

2) .

►Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

  1. .

  2. Функция имеет точку разрыва и непрерывна для всехиз области определения.

  3. .

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

  1. С осью Ох: . Точка- точка пересечения с осью Ох. С осью Оу:. Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

  2. Находим производную.

при и не существует при. Критические точки:и. Исследуем знак производной функции на промежутках.

Рис. 15

Функция убывает на интервалах ; возрастает – на интервале.

  1. Находим вторую производную.

при и не существует при. Критические точки второго рода:и.

Рис. 16

Функция выпукла на интервале , функция вогнута на интервалах. Точка перегиба,.

  1. Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая- вертикальная асимптота. Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки.Найдем наклонные асимптоты

Тогда - горизонтальная асимптота

  1. Найдем дополнительные точки:

  1. По полученным данным строим график функции (рис. 17).

Рис. 17

studfiles.net



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"