Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Формула площади боковой поверхности параллелепипеда


Площадь параллелепипеда. Формулы и задачи

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

площадь поверхности параллелепипеда формула

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Площадь параллелепипеда, где a, b и c – это измерения геометрического тела.Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

задача

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Задача на нахождение площади поверхности куба

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

диагональ через площадь

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

Параллелепипед — объемная фигура, одна из разновидностей призм, в основании которой лежит четырехугольник — параллелограмм, а все остальные грани также образованы данным видом четырехугольников. Площадь боковой поверхности параллелепипеда обнаружить дюже легко.

Инструкция

1. Стоит для начала разобраться, что из себя представляет боковая поверхность параллелепипеда. Она представляет из себя сумму площадей четырех параллелограммов, находящихся по бокам данной объемной фигуры. Площадь всякого параллелограмма находится по формуле:S = a*h, где a — одна из сторон данного параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне.Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника.Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

2. В том случае, если дан прямой параллелепипед, у которого знамениты периметр основания P, высота его h, то обнаружить площадь его боковой поверхности дозволено обнаружить так:S = P*h.Если дан прямоугольный параллелепипед (у которого все грани — прямоугольники), у которого вестимы длины сторон основания (a и b), a c — его боковое ребро, то боковая поверхность этого параллелепипеда вычисляется по такой формуле:S = 2*c*(a+b).

3. Для большей ясности дозволено разглядеть примеры:Пример 1. Дан прямой параллелепипед с периметром основания 24 см, высотой 8 см. Исходя из этих данных площадь боковой поверхности его будет вычисляться так:S = 24*8 = 192 см?Пример 2. Пускай в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, дозволено вычислить и боковую поверхность:S = 2*9*(4+9) = 234 см?

Параллелепипед – фигуры объемная, характеризующаяся наличием граней и ребер. Вся боковая грань образуется двумя параллельными боковыми ребрами и соответствующими друг другу сторонами обоих оснований. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , надобно сложить площади всех его вертикальных либо наклонных параллелограммов.

Инструкция

1. Параллелепипед – пространственная геометрическая фигура, имеющая три измерения: длину, высоту и ширину. В связи с этим он имеет две горизонтальные грани, называемые основаниями, а также четыре боковые. Все они имеют форму параллелограмма, но бывают и частные случаи, которые упрощают не только графическое изображение задачи, но и сами расчеты.

2. Основными числовыми колляциями параллелепипеда являются площадь поверхности и объем. Различают полную и боковую поверхность фигуры, которые получаются суммированием площадей соответствующих граней, в первом случае – всех шести, во втором – только боковых.

3. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , сложите площади четырех граней. Исходя из свойства фигуры, согласно которому противолежащие грани параллельны и равны, запишите:S = 2•Sб1 + 2•Sб2.

4. Разглядите для начала всеобщий случай, когда фигура наклонная: основания лежат в параллельных плоскостях, но смещены касательно друг друга:Sб1 = a•h; Sб2 = b•h, где а и b – основания всего бокового параллелограмма, h – высота параллелепипеда .S = (2•a + 2•b)•h.

5. Посмотрите наблюдательно на выражение, стоящее в скобках. Величины a и b дозволено представить не только, как основания боковых ребер, но и как стороны основания параллелепипеда , тогда это выражение есть не что иное, как его периметр:S = P•h.

6. Наклонный параллелепипед превращается в прямой, если угол между основанием и боковым ребром становится прямым. Тогда высота параллелепипеда равна длине боковой грани:S = P•с.

7. Прямоугольный параллелепипед – знаменитая форма исполнения многих конструкции: домов, предметов мебели, коробок, моделей бытовой техники и пр. Это связано с простотой их возведения/создания, от того что все углы составляют 90°. Боковая поверхность такой фигуры аналогична такой же числовой характеристике прямого, отличие между ними проявляется только при расчете полной поверхности.

8. Куб – параллелепипед, у которого все измерения равны:S = 4•Sб = 4•a?.

Видео по теме

jprosto.ru

Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.

Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

  1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
  2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
  4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
  5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
  6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
  7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
  8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

  1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
  2. Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
  3. Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

  • S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

  • S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

  • S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

  • S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Площадь поверхности параллелепипеда

Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:

S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.

Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.

Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?

Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.

Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.

Поверхность параллелепипеда

Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:

  • S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
  • S = 2*(a*h2 + b*h3 + c*h4), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h2, h3, h4 опущенные на них высоты.
  • S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.

Снова приведём пример:

  • a = 15, b = 25, c = 25, h2 = 10, h3 = 20, h4 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
  • S = 2*(a*h2 + b*h3 + c*h4) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.

В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Видео

Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.

liveposts.ru

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что прямая ОК перпендикулярна АВ и АК=2 см, ВК=8 см. Найдите диагонали ромба. Решение. При решении задачи использовали следующие утверждения: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся.

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда

Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны. Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части. Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    разделить все неравенство на 2; потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»; затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

С = (S/2 — а 2 ) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

poiskvstavropole.ru

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда :: SYL.ru

Параллелепипед - самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

  • Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны.
  • Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части.
  • Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам.
  • Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой - сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Sбок = Рос * н

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

S = Sбок + 2 * Sос

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Sбок= 2 * с * (а + в)

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

Sбок = 4 * а2

А из-за того, что его основания - такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

S = 6 * а2

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани - это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Sбок = (S1 + S2) * 2,

S = (S1 + S2 + S3) * 2

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 - основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм2.

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см2.

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а2 = 72 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см2).

Ответ. S = 294 см2.

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм2.

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

S = 2 * (а2 + 2ас).

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

  • разделить все неравенство на 2;
  • потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа - деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»;
  • затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

с = (S/2 - а2) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см2. Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см3.

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное - «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

12 * в = 60.

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота - нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма - это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они - прямоугольники. Поэтому их площади - это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см2.

Ответ. S = 188 см2.

www.syl.ru

Формулы площади поверхности геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Площадь куба

Куб

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

где

S

- площадь куба,

a

- длина грани куба.

Площадь прямоугольного параллелепипеда

прямоугольного параллелепипед

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

S = 2(

a · b

+

a · h

+

b · h

) где

S

- площадь прямоугольного параллелепипеда,

a

- длина,

b

- ширина,

h

- высота.

Площадь цилиндра

цилиндр

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2

π R h

+ 2

π R

2 = 2

π R

(

R

+

h

) где

S

- площадь,

R

- радиус цилиндра,

h

- высота цилиндра,

π = 3.141592

.

Площадь конуса

конус

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число

π

.

Формула площади боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса:

S =

π R

2 +

π R l

=

π R

(

R

+

l

) где

S

- площадь,

R

- радиус основания конуса,

l

- образующая конуса,

π = 3.141592

.

Площадь шара

шар

Формулы площади шара

  • Площадь поверхности шара равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число

    π

    .
  • Площадь поверхности шара равна квадрату его диаметра умноженного на число

    π

    .
где

S

- площадь шара,

R

- радиус шара,

D

- диаметр шара,

π = 3.141592

.

Добавить комментарий

o-math.com

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда – формула (5 класс, математика)

В 5 классе по математике изучается тема прямоугольного параллелепипеда. В статье раскрывается вышеозначенная тема, приводятся формулы для нахождения площади прямоугольного параллелепипеда боковой поверхности и площади полной поверхности.

Определения понятий

Параллелепипед – это фигура, который состоит с шести четырехугольников. Если в основании этой фигуры находится прямоугольник, то многоугольник называется прямоугольным параллелепипедом.

Вся поверхность состоит с шести граней. Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани. А две – называются основанием многоугольника. Для обозначения вершин многоугольника используют большие латинские буквы.

Если две грани не имеют общего ребра, то они противоположные. Так как каждая грань является прямоугольником, где противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны граней – это ребра, то есть фигура имеет 12 ребер. Длина ребер является единицами измерения многоугольника.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Примерами таких фигур могут быть обычные предметы нашей жизни, например, кирпич, коробка, системный блок компьютера.

Для обозначения параллелепипеда используют обозначение двух его основ.

Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием квадрата, параллелограмма.

Формула для нахождения площади

Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычесть по отдельности площадь каждой боковой грани.

S = ab;

S = ac,

a, b, c – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

А так как противоположные грани равны, то есть AMPD = BNKC, AMNB = DPKC, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.

S= 2(ab + ac)

Соответственно, чтобы вычесть площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.

S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)

Единицами измерения является мм2, см2, дм2, и так далее. Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, Sп.п – площадь полной поверхности, либо Sб.п – площадь боковой поверхности. Это помогает вовремя выполнения задание не перепутать нужные данные.

Пример задания

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания по 4 см, 3 см, а высота его 2 см.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c

Решение:

S п.п. = 2(ab + ac + bc)

S п.п. = 2(4 * 3 + 4*2 + 3*2) = 52 см2.

Таким образом, S п.п. = 52 см2.

Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют такие же единицы измерения, какие имеют его измерения. При необходимости их нужно перевести в единую систему измерения.

Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.

Что мы узнали?

В статье мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади боковой и полной поверхности многоугольника, которые можно использовать для решения заданий.

Тест по теме

obrazovaka.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"