Эллипс – фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры. Эксцентриситет эллипса как найти

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

11.Эллипс и его каноническое уравнение. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

  1. БЛОК

Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса (F1, F2).

Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов (2a=r1+r2). Введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 имели координаты F1 (-с,0) и F2 (с,0), и выведем в ней уравнение эллипса. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек

М(x, у), для которых MF1 + MF2 = 2а. Из неравенства треугольника, следует, что M F1 + M F2 ≥ F1 F2 т.е. a ≥ с. При

а = с эллипс вырождается в отрезок F1F2 поэтому будем считать, что а > с.

В координатах уравнение эллипса принимает вид

Выполнив стандартные преобразования получим:

Свойства эллипса: 1° . Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу), а значит, и центр симметрии (начало координат О). Оси симметрии эллипса называются его полуосями; та из них, на которой лежат фокусы, называется большой полуосью, а другая — малой; числа а и b иногда также называют полуосями. 2°. Поскольку и, то эллипс целиком содержится в прямоугольнике (|х| ≤ a, |y| ≤ b), стороны которого параллельны его осям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначается буквой .

Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е.  .

Если величина эксцентриситета приближается к единице, то эллипс сильно вытянут; если же ближе к нулю, то эллипс имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то эллипс вырождается в окружность.

Пример.

Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением .

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 108: мы видим, что   , откуда;;

Так как b>c, то фокусы эллипса расположены на оси ординат. Они имеют координаты и, гдеопределяется из соотношения. Подставив в него значенияи, получим:

Итак, фокусами эллипса служат точки  и.

Далее находим: большую ось эллипса  ; малую ось; эксцентриситет.

Директрисы эллипса.

Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

или.

Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса, ,– ее фокальные радиусы,– расстояние от точки М до левой директрисы,– до правой. Тогда

, где– эксцентриситет эллипса.

  

Доказательство

Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда

откуда и следуют равенства

Теорема доказана.

12.Свойства сходящихся числовых последовательностей.

Последовательность { x n } называется ограниченной снизу ( сверху ), если существует такое число C , что все члены последовательности удовлетворяют условию x n  ≥  C ( x n  ≤  C ). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность { x n }: x n  = (–1) n .

Теорема о трех последовательностях. Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ N, и

то последовательность {yn} сходится, и

Если и для любогото a ≥ b.

Свойства сходящихся последовательностей:

Основные свойства сходящихся последовательностей

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {хn} и {уn}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {уn}

6. Частное двух сходящихся последовательностей {хn} и {уn} при условии, что предел последовательности {уn}отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {хn} и {уn}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {хn} удовлетворяют неравенству xn ≥ b (хn ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Справедлива следующая теорема (основная теорема теории пределов): если то:;;при условии, что b ≠ 0 идля всех n.

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

Если число a – предел последовательности {xn}, то последовательность {αn}, где αn = xn – a, бесконечно малая. Примером бесконечно малой последовательности является геометрическая прогрессия {qn}, где |q| < 1.

  • Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

  • Из определения бесконечно малой последовательности непосредственно следует, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что конечность числа бесконечно малых последовательностей в этой алгебраической сумме существенна.

  • Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что и здесь конечность числа последовательностей также существенна, т. к. произведение бесконечного числа бесконечно малых последовательностей может уже и не быть бесконечно малой последовательностью.

Множества иназываются δ-окрестностями –∞ и +∞ соответственно.

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

Другими словами, , если для любого δ > 0 найдется номертакой, что для любогоАналогично вводятся понятия бесконечных пределов +∞ и –∞. Примерами бесконечно больших последовательностей могут служить {n2} или {1 – n}.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает существование конечных пределов последовательностей. Преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на n2. Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно находим

studfiles.net

Глава 26. Эллипс. Эксцентриситет и директрисы эллипса

Определение

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости и , называемых Фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Расстояние между фокусами – .

Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.

Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть (Рис. 2.12.1). Пусть текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

(2.12.1)

Где – Большая, – Малая полуоси эллипса, . Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (2.12.1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

Рис. 2.12.1.

Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса – (для окружности – ). Отрезки и называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам и . Если эллипс определен уравнением (2.12.1) и , то прямые называются Директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями ).

Если центр эллипса перенесен в точку , то его Каноническое уравнение принимает вид

.

Пример

Дано уравнение эллипса . Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

Решение

Разделим обе части уравнения на 4225: . Сравнивая полученное уравнение с выражением (3.2.1), заключаем, что , то есть , то есть . Тогда , а .

Пример

Прямые служат директрисами эллипса, малая ось которого равна . Составить уравнение этого эллипса.

Решение

Малая полуось эллипса . Чтобы составить уравнение эллипса нужно знать большую полуось. Имеем: , . Следовательно, . Так как , то . Учитывая, что , получим, что величина удовлетворяет уравнению . Откуда , следовательно . Искомое уравнение принимает вид .

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние  = – фокусное расстояние.

Рис. 1

– фокусы .

; ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

 Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами  тогда уравнение:

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим и на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты и (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через и – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) , и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

 (подносим к квадрату обе части): ,

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из у нас получается . Так как , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки тоже удовлетворяют это уравнение: из

.

Точки – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим , для первой четверти .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки и , а также симметричные с ними , – вершины эллипса, точка – центр эллипса, = большая ось, – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом  равен углу между касательной и фокальным радиусом .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами :

.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами и у треугольника , тогда выполняется соотно

nauchniestati.ru

Кривые второго порядка. Эллипс

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат - в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5, меньшая полуось - это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

Число

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

- если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

- если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат - каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e - эксцентриситет и числа "эр" с подстрочными индексами 1 и 2 - искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса .

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

function-x.ru

Эксцентриситет эллипса и параболы

ТОП 10:

Начертить эллипс очень просто и без циркуля и линейки. Для этого вам надо взять кусок картона, воткнуть в него две булавки на некотором расстоянии друг от друга. Точки, в которые воткнуты булавки, – это фокусы будущего эллипса. Затем надо взять нитку длины большей, чем расстояние между булавками, и привязать концы нитки к булавкам. Внутрь петли, образованной ниткой, вставьте карандаш, отведите его от булавок так, чтобы нитка натянулась, поставьте отточенный конец карандаша на картон, затем аккуратно обведите карандаш вокруг булавок. Когда рисуемый вами овал замкнется, эллипс готов (рис. 11). Способ, которым вы получили эту кривую, вам гарантирует, что сумма расстояний от любой ее точки до фокусов для всех точек одинакова – она равна длине нити.

Выбирая разные фокусные расстояния и разную длину нитки, вы получите эллипсы большего или меньшего размера, вытянутые в длину или похожие на окружность (рис. 12).

Рамка, имеющая форму эллипса Число , где а - большая полуось, а с – фокусное расстояние,

называется эксцентриситетом эллипса. В силу того, что a>c, это отношение всегда меньше единицы (e<1). При с=0, когда эллипс вырождается в окружность, эксцентриситет равен нулю. Из формулы для b видно, что чем ближе эксцентриситет к единице, тем ближе к нулю отношение b/а, и тем меньше эллипс напоминает окружность (рис. 12). Для орбиты Земли e=0,017.

 

 
 

 

 

Можно рассматривать параболу, как "предел эллипсов", когда один из фокусов стремится в бесконечность. А именно, если эллипс растягивать так, чтобы один из его фокусов оставался на месте, а другой стремился в бесконечность, то эллипс будет стремиться обратиться в параболу, а эксцентриситет эллипса будет стремиться к 1. Эксцентриситет параболы равен 1.

Эллипс – фигура, часто встречающаяся в природе. Например, если наклонить стакан с водой, то очертание верхнего слоя воды будет эллипсом. (Рис 13а). Еще Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца не по кругам, а по эллипсам. Солнце находится в фокусе каждого эллипса (рис 13б). Фокусы эллипса обладают замечательным свойством. Если изогнуть узкую полоску металла по дуге эллипса и поместить источник света в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе (рис 14). В комнате с эллипсоидным потолком слова, сказанные шепотом человеком, стоящим в одном из фокусов, хорошо слышны человеку, стоящему в другом фокусе (так называемые комнаты "шепотов").

 

 

 
 

 

 

 

Примеры

1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.

Решение. Из условия задачи 2с=8, 2а=10, следовательно:

с=4, а=5, b2=a2-c2=25-16=9 и уравнение эллипса:

2. Определить фокусы и эксцентриситет эллипса:

Решение. Из уравнения эллипса находим оси эллипса: а=5, b=13. Так как b>a, эллипс вытянут вдоль оси Y. И фокусы расположены на оси Y. Фокусное расстояние с связано с осями эллипса соотношениями: b2=a2-c2для эллипса, вытянутого вдоль оси Х, и а2=b2-c2 для эллипса, вытянутого вдоль оси Y. Отсюда с2=b2-a2=169-25=144, то есть

и координаты фокусов; F1(0,-12), F2(0,12).

3. Выберите произвольную точку на эллипсе и укажите симметричные ей точки относительно осей и начала координат. Принадлежат ли они эллипсу?

Решение. Пусть (х0, у0) - точка, лежащая на эллипсе. Симметричная ей точка относительно оси Y (-х0, у0), относительно оси Х (х0, -у0), относительно начала координат (-х0, -у0). Они тоже лежат на эллипсе, так как в уравнении эллипса содержатся только квадраты координат, а координаты симметричных точек отличаются только знаком. Чтобы подобрать координаты конкретной точки, лежащей на эллипсе, надо взять любое значение х<5, например, х=3, подставить это значение в уравнение эллипса и определить 2 значения у, соответствующих этому значению х:

 

Конические сечения

На примере стакана с водой мы видели, как просто получить эллипс. Вообще, если прямой цилиндр разрезать наискось так, чтобы не затронуть при этом оснований, то в разрезе получится эллипс. И если такую операцию проделать с конусом, то тоже получится эллипс.

 

Если рассечь конус плоскостью так, чтобы разрез проходил через основание конуса, можно получить в сечении дугу параболы или дугу гиперболы. Окружность можно получить, рассекая круговой цилиндр или круговой конус горизонтальной плоскостью. Таким образом, все кривые – и эллипс, и гипербола, и парабола являются коническими сечениями. Пересечение плоскостью двустороннего конуса, простирающегося в бесконечность, дает бесконечную параболу и бесконечную гиперболу (рис. 15).

На чертеже хорошо видно, как меняется сечение с изменением угла наклона секущей плоскости. Когда плоскость горизонтальна – это окружность. Начинаем вращать плоскость - окружность обращается во все более вытянутый эллипс. То есть эксцентриситет растет, и из нулевого становится все больше похожим на единицу. Когда плоскость становится параллельной касательной плоскости конуса, второй фокус эллипса улетает в бесконечность и эллипс обращается в параболу, эсцентриситет которой равен 1. Продолжаем плавно изменять угол наклона секущей плоскости. Она начинает рассекать еще и верхнюю часть конуса. Кривая обращается в гиперболу с двумя ветвями. Горизонтальная плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает конус по точке. Если пересечь конус вертикальной плоскостью, проходящей через вершину конуса, получатся две пересекающиеся прямые. Одна прямая получится, если секущая плоскость проходит через образующую (ребро) конуса. Две параллельные – если рассечь вертикальной плоскостью бесконечный цилиндр. Цилиндр можно представить себе, как конус с бесконечно удаленной вершиной. Коническим сечением станут параллельные прямые. Все рассуждения сохраняются и для не прямого (наклонного) кругового конуса.

Вследствие всего сказанного эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями (кониками), хотя, как мы видели, набор конических сечений много богаче.

Кривые второго порядка

Общее уравнение второго порядка относительно х и у содержит члены второй степени – х2, ху, у2, первой степени – х, у и нулевой степени (свободный член), а значит имеет вид:

Aх2+Bxy+Cу2+Dx+Ey+F=0.

Здесь хотя бы один коэффициент А, В, С должен быть отличен от нуля. Представленное уравнение является уравнением второй степени, а линии, уравнения которых описываются таким уравнением, называются кривыми второго порядка.

В аналитической геометрии доказывается, что уравнение второй степени самого общего вида задает или эллипс, или гиперболу, или параболу, или пару прямых, или одну точку, или вообще задает пустое множество, то есть является уравнением конического сечения. Доказательства проводятся средствами линейной алгебры.

Кривые второго порядка отвечают высоким эстетическим требованиям. Их часто применяют как в технических формах, так и в архитектуре. Например, кривая контура части монумента Покорителям Космоса в Москве была прорисована архитекторами "от руки", затем для инженерных расчетов с помощью ЭВМ было найдено уравнение чертежа: 0,314х2-2×1,287xy-y2+2×30,259x+289,982y-6528,191=0 (мы оставили только 3 знака после запятой).



infopedia.su

Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

 

Эксцентриситетом гиперболы называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси.

Эксцентриситетом эллипса называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси.

Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные ее действительной оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению действительной полуоси к эксцентриситету.

Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные его большой оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению большой полуоси к эксцентриситету.

 

Рассмотрим гиперболу (1). Для неё , т.к. . Вспомнив, что , получаем . Исследуем, как меняется форма гиперболы в зависимости от её эксцентриситета. Зафиксируем полуось . Если , то , т.е. гипербола будет очень узкой. С ростом растёт и , т.е. ветви гиперболы расширяются (см. рис. 3.9). Если же , то и , т.е. гипербола по внешнему виду приближается к паре параллельных прямых.

Рассмотрим теперь эллипс (2). Для него , т.к. . Для эллипса (2)

Рис.3.9 , поэтому . Исследуем, как меняется форма эллипса в зависимости от его эксцентриситета. Опять зафиксируем полуось . При получаем , и эллипс вырождается в окружность. С ростом полуось уменьшается, эллипс «худеет», а если , то , т.е. эллипс и вовсе стремится превратиться в отрезок (рис 3.10).

Теперь вернемся к директрисам. Так как для гиперболы (1) , а для эллипса (2) , Рис. 3.10

то для гиперболы , а для эллипса . Это значит, что и директрисы гиперболы, и директрисы эллипса свою кривую не пересекают. Кроме того, директриса и соответствующий ей фокус отделены кривой друг от друга (рис. 3.11 и 3.12).

Теорема (основное свойство эллипса и гиперболы по отношению к директрисам). Для всех точек гиперболы (эллипса) отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть число постоянное, равное эксцентриситету гиперболы (эллипса). И обратно: если для какой-либо точки плоскости отношение расстояния до фокуса заданной гиперболы (эллипса) к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету заданной гиперболы (эллипса), то эта точка принадлежит гиперболе (эллипсу).

 

 

►Докажем утверждение для левого фокуса и левой директрисы гиперболы (1) (в остальных случаях вы его докажете самостоятельно в качестве упражнения). На рис. 3.13 точки имеют следующие координаты: , , . Тогда

[§1, (5)] = ; .

Из этих двух равенств и получаем:

.

Докажем обратное утверждение. Пусть для некоторой точки плоскости справедливо соотношение:

. (3)

Так как , а , то

(3)

.

Учитывая, что , из последнего уравнения получаем . Таким образом, точка удовлетворяет уравнению заданной гиперболы. ◄

На основании доказанной теоремы мы можем сформулировать общее определение эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Гиперболой (эллипсом, параболой) называется множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки к расстоянию до заданной прямой в этой плоскости есть число постоянное, равное e, причём e > 1 (e < 1, e = 1).

 

mykonspekts.ru

Уравнение эллипса, формулы и примеры

Определение и уравнение эллипса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная. Точки и называются фокусами эллипса.

Каноническое (или простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат

   

Здесь — длина большей полуоси эллипса, — длина малой полуоси эллипса. Фокальным расстоянием называется расстояние между фокусами рассматриваемого эллипса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Эллипс задан своим каноническим уравнением . Найти длины его большой и малой осей.
Решение Из заданного канонического уравнения эллипса можно сделать вывод, что

   

Тогда . Следовательно, искомые длины большой и малой осей соответственно

   

Ответ

Величина

   

Величины и эллипса связаны соотношением:

   

Эксцентриситетом эллипса называется величина

   

Для эллипса

ПРИМЕР 2
Задание Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси
Решение Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

   

Подставляя в него заданные значения полуосей, получим:

   

Ответ

ru.solverbook.com



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"