Натуральный логарифм, функция ln x. E y как найти

БЕСПЛАТНО ответим на Ваши вопросы
По лишению прав, ДТП, страховом возмещении, выезде на встречную полосу и пр. Ежедневно с 9.00 до 21.00
Москва и МО +7 (499) 938-51-97
С-Петербург и ЛО +7 (812) 467-32-86
Бесплатный звонок по России 8-800-350-23-69 доб.418

Натуральный логарифм, функция ln x

Определение

Натуральный логарифм – это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = loge x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:е ≅ 2,718281828459045...;.

График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:.Производная натурального логарифма от модуля x:.Производная n-го порядка:.Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям: . Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z: . Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ: . Используя свойства логарифма, имеем: . Или. Аргумент φ определен не однозначно. Если положить, где n – целое,то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Что такое функция и ее свойства

Если задано множество чисел X и указан способ f, по которому для каждого значения хЄX ставится в соответствие только одно число у. Тогда считается заданной функция y = f(х), у которой область определения X (обычно обозначают D(f) = X). Множество Y всех значений у, для которых есть как минимум одно значение хЄX, такое, что y = f(х), такое множество называют множеством значений функции f (чаще всего обозначают E(f)= Y).

Или зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.

Функциональную зависимость переменной у от х часто подчеркивают записью у(х), которую читают игрек от икс.

Область определения функции у(х), т. е. множество значений ее аргумента х, обозначают символом D(y), который читают дэ от игрек.

Область значений функции у(х), т. е. множество значений, которые принимает функция у, обозначают символом Е(у), который читают е от игрек.

Основными способами задания функции являются:

а) аналитический (с помощью формулы y = f(х)). К этому способу можно отнести и случаи, когда функция задается системой уравнений. Если функция задана формулой, то область ее определения составляют все те значения аргумента, при которых выражение, записанное в правой части формулы, имеет значения.

б) табличный (с помощью таблицы соответствующих значений х и у). Таким способом часто задается температурный режим или курсы валют, но этот способ не такой наглядный, как следующий;

в) графический (с помощью графика). Это один из самых наглядных способов задания функции, поскольку по графику сразу "читаются" изменения. Если функция у(х) задана графиком, то область ее определения D(y) есть проекция графика на ось абсцисс, а область значений Е(у) — проекция графика на ось ординат (смотри рисунок).

г) словестный. Этот способ часто применяется в задачах, а точнее в описании их условия. Обычно этот способ заменяют одним из приведенных выше.

Функции y = f(х), xЄX, и y = g(х), xЄX, называются тождественно равными на подмножестве МСX, если для каждого x0ЄМ справедливо равенство f(х0) = g(х0).

График функции y = f(х) можно представить, как множество таких точек (х; f(х)) на координатной плоскости, где х — произвольная переменная, из D(f). Если f(х0) = 0, где х0 то точка с координатами (x0; 0) — это точка, в которой график функции y = f(х) пересекается с осью Оx. Если 0ЄD(f), то точка (0; f(0)) — это точка, в которой график функции у = f(x) пересекается с осью Оу.

Число х0 из D(f) функции y = f(х)  это нуль функции, тогда, когда f(х0) = 0.

Промежуток МСD(f) это промежуток знакопостоянства функции y = f(х), если либо для произвольного xЄМ верно f(х) > 0, либо для произвольного хЄМ верно f(х) < 0.

Есть приборы, которые вырисовывают графики зависимостей между величинами. Это барографы — приборы для фиксации зависимости атмосферного давления от времени, термографы — приборы для фиксации зависимости температуры от времени, кардиографы — приборы для графической регистрации деятельности сердца. У термографа есть барабан, он равномерно вращается. Бумаги, намотанной на барабан, касается самописец, который в зависимости от температуры поднимается и опускается и вырисовывает на бумаге определенную линию.

От представления функции формулой можно перейти к ее представлению таблицей и графиком.

При изучении математики очень важно понимать, что такое функция, ее области определения и значения. С помощью исследования функций на экстремум можно решить многие задачи по алгебре. Даже задачи по геометрии иногда сводятся к рассмотрению уравнений геометрических фигур на плоскости.

belmathematics.by

как найти область значений/изменений функции?

области определения и значений функций отдельно решение квадратных уравнений отдельно: <a rel="nofollow" href="http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg21.html" target="_blank">http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg21.html</a> ссылка на справочный сайт по элементарной математике. выпишите формулы и решайте, аккуратно считая. решите пару сотен уравнений и будете знатоком этого дела. Успеха!

есть только область определения функции и множество значений функций

Область значений, множество значений, область изменения это суть одно и то же. Другими словами, каким может быть у, зависимая переменная. У тебя две параболы, первая ветви вверх, вторая - вниз. Т. е. область значений первой будут все у от вершины и до бесконечности, второй - от минус бесконечности и до вершины. Осталось найти вершину 1) x=-b/(2a)=4/2=2 y=2^2-4*2+7=3 E(y)=[3;+oo) 2) x=-b/(2a)=-8/(2*(-1))=4 y=8*4-4^2-10=32-16-10=6 E(y)=(-oo;6]

touch.otvet.mail.ru

Как найти область значения функции?

Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.

Что такое область значения функции

Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).

Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.

Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.

Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).

Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.

Как найти область значений функции: пример

  • Имеем функцию у = 1 / (х² - 4).

Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстремумов.

  • у' = (1 / (х² - 4)) ' = -2х / (х² - 4)².

Из этого выражения следует, первая точка экстремума при х = 0, т.к. в этой точке производная меняет знак. Т.к. знак меняется с + на -, это максимум.

Максимальное значение функции при х = 0:

  • у = 1 / (х² - 4) = у = 1 / (0² - 4) = -1 / 4.
  • y max = -1/4.

Теперь найдём точки разрыва функции, которые бывают, когда знаменатель производной равен 0.

Раскладываем выражение на множители:

Корни уравнения: х = 2; -2. Значит, это точки разрыва функции. Определяем, к чему стремится функция в этих точках.

  • Lim (1 / (х² - 4)) = lim1(1 / (х – 2)(х + 2)) = lim (1 / (2 – 2)(2 + 2)) = lim ((1/0)(-1/4)) = -∞ .
  • x → -+2

В точках разрыва функция

elhow.ru

Помогите найти производную! y=e в степени sin4x. и обьянсить как мы её нашли

Вы знаете о производной сложной функции? Это как раз тот случай. Приведу пару примеров. Я извиняюсь за некачественность картинки, камера на телефоне) ) Поподробнее поищите в интернете про производную сложной функции. Ну а если кратенько, то производная сложной функции - как матрешка, мы берем вначале производную первой функции, в моем примере это sin(4x), производная синуса - косинус, то есть получаем cos(4x) и еще умножаем на производную внутренней функции, то есть 4х, это 4. В примере sin(4x) в квадрате у нас три функции - возведение в квадрат, синус и 4х, сначала берем производную от квадрата, умножаем на производную синуса и потом еще на произ-ю 4х. В Вашем примере тоже 3 функции - это степень е, синус и 4х, в такой последовательности раскрываем матрешку <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/f096c6f11d9f4aac982ca5da674a6ecd_i-14.jpg" >

По формуле производной от сложной функции f ' (g (x)) = f ' (g)*g ' (x) y = e^(sin(4x)) y ' = [e^(sin(4x))] ' * (sin(4x)) ' * (4x) ' = e^(sin(4x)) * cos(4x) * 4 = 4e^(sin(4x))*cos(4x)

Правильный ответ 4*cos(4*x)*e^sin(4*x) А все остальное лениво колбасить на клаве... . Правило 1. (е^F(x))' = e^F(X) * F(x)' Имеем е^SIN(4·x)·(SIN(4·x))' Правило 2. (sin(F(x))' = cos(F(x)) * F(x)' имеем: е^SIN(4·x)·COS(4·x)·(4·x)' итакдалееееееееееееееееее

touch.otvet.mail.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"