Производная e в степени x и показательной функции. Е в степени х в степени 2


Производная e в степени x и показательной функции

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):(1)   ( e x )′ = e x.

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:(2)   .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:.Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x:y = e x.Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:А) Свойство экспоненты:(4)   ;Б) Свойство логарифма:(5)   ;В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:(6)   .Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.Г) Значение второго замечательного предела:(7)   .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):;.

Сделаем подстановку   . Тогда   ; .В силу непрерывности экспоненты,.Поэтому при , . В результате получаем:.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:.

Применим свойство логарифма (5):. Тогда.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:.Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция(8)   Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.;.Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:.

Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:.Применяем формулу производной сложной функции:.Здесь .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:.

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:(9)   .Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде:,где .Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:(10)   ,где .

Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):(11)   .Применим формулу производной обратной функции:(12)   .Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):.И, наконец, выразим y через x по формуле (11):.Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то.Дифференцируем это уравнение по переменной x:(13)   .Производная от икса равна единице:.Применим формулу производной сложной функции:.Здесь . Подставим в (13):.Отсюда.

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функцийy = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

Итак, имеем исходную функцию.Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:1)   Функции , зависящей от переменной : ;2)   Функции , зависящей от переменной : .Тогда исходная функция составлена из функций и :.

Найдем производную от функции по переменной x:.Найдем производную от функции по переменной :.Применяем формулу производной сложной функции..Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:.Подставляем n = 2 и n = 3.

Ответ

;   ;   .

См. также Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:(14)   .Мы нашли ее производную первого порядка:(1)   .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:;.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:.Мы нашли ее производную первого порядка:(15)   .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:;.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 27-03-2017

1cov-edu.ru

e^2x ( «е» в степени 2х) толи 2е^x или е^2x ^ — обозначение степени — 22 ответа



Y e 2x

В разделе Естественные науки на вопрос помогите найти производную: e^2x ( "е" в степени 2х) толи 2е^x или е^2x ^ - обозначение степени заданный автором Мосол лучший ответ это Вот тут можно проверять такие вещи:ссылкаwww. wolframalpha. com /набираем в строке вопрос, в Вашем случае:d(exp(2*x))/dxи оно выдает все, что об этом думает в том числе и производную (derivative)нажав на "Show steps" (показать шаги) , можно увидеть откуда, что взялось___Могут возникать проблемы с правильностью набора формул, надо читать пояснения.___Вольфрам не только по математике, он широкого профиляА вот пара сайтов по математике:Империя Чиселru. numberempire. com/Калькулятор производных, Калькулятор интегралов, Калькулятор пределов и еще кое-чтоцелочисленные последовательностиThe On-Line Encyclopedia of Integer Sequenceswww. research. att. com / ~ njas / sequences /

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: помогите найти производную: e^2x ( "е" в степени 2х) толи 2е^x или е^2x ^ - обозначение степени

Ответ от 1[мастер]2 е^(2x)

Ответ от ростра[активный]е-число следовательно берем формулу а в степени х (a^x=a^x* lna)

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

E2 на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про E2

Гауссов интеграл на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про Гауссов интеграл

Пси Фактор Хроники паранормальных явлений на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про Пси Фактор Хроники паранормальных явлений

Таблица производных на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про Таблица производных

Элементы HTML на ВикипедииПосмотрите статью на википедии про Элементы HTML

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

свойства экспоненты и основные формулы

Многие числа обрели свою величину и суеверное значение еще в древности. В наши дни к ним добавляются новые мифы. Существует много легенд о числе пи, немногим уступают ему в известности знаменитые числа Фибоначчи. Но, пожалуй, самым удивительным является число е, без которого не может обойтись современная математика, физика и даже экономика.

Арифметическое значение числа е равно приблизительно 2,718. Почему не точно, а приблизительно? Потому что это число иррациональное и трансцендентное, его нельзя выразить дробью с натуральными целыми числами или многочленом с рациональными коэффициентами. Для большинства расчетов указанной точности значения в 2,718 достаточно, хотя современный уровень вычислительной техники позволяет определить его значение с точностью более триллиона знаков после запятой.

Главной особенностью числа е является то, что производная его показательной функции f (x) = ex равно значению самой функции ех. Такого необычного свойства нет больше ни у какой другой математической зависимости. Расскажем об этом чуть подробнее.

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) n . Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную ex — в этом видео.

Что такое производная функции

Для раскрытия понятия производной следует напомнить что такое функция в математике. Чтобы не загромождать текст сложными определениями, остановимся на интуитивном математическом понятии функции, заключающимся в том, что в ней одна или несколько величин полностью определяют значение другой величины, если они взаимосвязаны. Например, в формуле S = π ∙ r 2 площади круга, значение радиуса r полностью и однозначно определяет площадь круга S.

В зависимости от вида, функции могут быть алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и др. В них могут быть взаимосвязаны два, три и более аргументов. Например, пройденное расстояние S, которое объект преодолел с равноускоренной скоростью, описывается функцией S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, где «t» — время движения, аргумент «а» ускорение (может быть как положительной, так и отрицательной величиной) и «V» начальная скорость движения. Таким образом, величина пройденного расстояния зависит от значений трех аргументов, два из которых («а» и «V») постоянны.

Покажем на этом примере элементарное понятие производной функции. Оно характеризует скорость изменения функции в данной точке. В нашем примере это будет скорость движения объекта в конкретный момент времени. При постоянных «а» и «V» она зависит только от времени «t», то есть говоря научным языком нужно взять производную функции S по времени «t».

Этот процесс называется дифференцированием, выполняется путем вычисления предела отношения прироста функции к приросту ее аргумента на ничтожно малую величину. Решения подобных задач для отдельных функций часто является непростым делом и здесь не рассматриваются. Также стоит отметить, что некоторые функции в определенных точках вообще не имеют таких пределов.

В нашем же примере производная S по времени «t» примет вид S’ = ds/dt = а ∙ t + V, из которого видно, что скорость S’ изменяется по линейному закону в зависимости от «t».

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = ex, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем ex = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

  • возрастание сложных банковских процентов;
  • увеличение популяции животных и населения планеты;
  • время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (ex)’ = ex .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

  • (eax)’ = a ∙ eax ;
  • (ef (x))’ = f'(x) ∙ ef (x).

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Видео

Тема видеоурока — производная показательной функции.

liveposts.ru

Найти производную е в степени -х-2х в кубе... -reshimne.ru

10 комментария: )))) я сейчас )) ок (е в ст -х-2хкуб)~ =(-1-6х) умн на е в ст -х-2хкуб может так? старшую степень просто поставь на первое место от перемены мест слагаемых ничего не изменится но канинически это правильнее спасибо,у меня еще одно задание висит,можно ? а в первой скобке минус вынеси за скобку меня ждут ,позже посмотрю найти производную 7/ctg в кубе 2х спс

reshimne.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"