Как начертить двенадцатиугольник. Двенадцатиугольник правильный


Как начертить двенадцатиугольник

Умение строить правильные многоугольники необходимо любому специалисту, по роду своей деятельности связанному с черчением или геометрией. Построить двенадцатиугольник с помощью обычных чертежных инструментов можно как минимум тремя способами. Компьютерные же программы позволяют это сделать за несколько минут.

Вам понадобится

  • - бумага;
  • - циркуль;
  • - транспортир;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - калькулятор;
  • - компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

  • Первый «классический» способ заключается позволяет обойтись без циркуля. Поставьте на листе точку и проведите через нее произвольную прямую. Точку можно как-нибудь обозначить. Например, это может быть точка О. В одну из сторон отложите от нее отрезок любой длины. Обозначьте его как ОА.
  • Разделите 360° на 12. Полученную величину в 30° отложите от отрезка ОА, совместив нулевое деление транспортира с точкой О. На полученном луче отложите размер, равный длине отрезка ОА. Таким же образом отложите угол в 30° и от этого нового отрезка. Продолжите построение, откладывая размер угла от каждой новой линии. Соедините конечные точки всех отрезков прямыми.
  • Гораздо более точное построение можно выполнить с помощью циркуля. Начертите окружность с центром в точке О. Обозначьте на этой окружности какую-либо точку. Например, пусть это будет точка А. Проведите через нее радиус.
  • Разведите ножки циркуля на длину радиуса окружности. Иголку инструмента поставьте в точку А. На окружности сделайте отметку В. Переставьте циркуль в эту точку и сделайте на окружности еще одну отметку С. Повторяйте операцию до тех пор, пока не разделите окружность на 6 равных частей.
  • Отметки на окружности соедините отрезками. У вас получился правильный шестиугольник. Каждую его сторону разделите пополам и к полученной точке проведите перпендикуляр. Перпендикуляры необходимо продлить, чтобы они пересекли окружность. У вас получится еще 6 точек.
  • Гораздо более точное построение можно выполнить с помощью циркуля. Начертите окружность с центром в точке О. Обозначьте на этой окружности какую-либо точку. Например, пусть это будет точка А. Проведите через нее радиус.
  • Соедините полученные точки с соседними вершинами правильного шестиугольника. У вас получился правильный двенадцатиугольнрик. Лишние линии при необходимости можно убрать.
  • Построить правильный двенадцатиугольник с помощью циркуля можно и иначе. Начните с построения окружности. Начертите 2 диаметра перпендикулярно друг другу. Если вы сделаете конечные точки каждого центрами новых окружностей того же радиуса, то исходная окружность разделится на 12 равных частей. Вам останется только соединить соседние вершины отрезками.
  • Правильный двенадцатиугольник в программе AutoCAD строится с помощью команды «Многоугольник», он же polygon. Ее можно ввести в командную строку (латиницей, причем перед командой ставится значок «_»..Перед вами появится окошко, в которое нужно просто ввести число сторон. Соответствующий инструмент можно найти также в панели инструментов на рабочем столе или через вкладку «Рисование» в главном меню.
  • Программа предложит вам определить способ, по которому вы будете строить двенадцатиугольник. В AutoCAD любой многоугольник можно начертить по длине стороны, центру и радиусу вписанной или описанной окружности. Выберите нужное.
  • Если вы будете строить двенадцатиугольник по одному из радиусов, укажите центр фигуры. Это можно сделать, задав координаты или отметив нужную точку щелчком мыши. Укажите, радиус какой окружности вам задан, и введите нужное значение.

completerepair.ru

Правильный двенадцатиугольник Википедия

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

A=3cos⁡(π12)a2=3(2+3)a2≃11.19615242a2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A=6sin⁡(π6)R2=3R2.{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

A=12tan⁡(π12)r2=12(2−3)r2≃3.2153903r2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}&\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}}

Монеты

Британская монета в три пенса в форме додекагона

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2m{\displaystyle 2m}-угольник можно разбить на m(m−1)2{\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}} ромбов. Для додекагона m=6{\displaystyle m=6}, так что он может быть разбит на 15 ромбов.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

См. также

Ссылки

МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
{3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

wikiredia.ru

Площадь правильного двенадцатиугольника — Циклопедия

Площадь правильного двенадцатиугольника — это число, характеризующее правильный двенадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двенадцатиугольник (додекагон) — это двенадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=12;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/12;

P12 — периметр правильного двенадцатиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S12 — площадь правильного двенадцатиугольника.

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=12:

[math]S_{12}=3a^2ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=\frac{1}{2}P_{12}r, \ P_{12}=12a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{12} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=12R^2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{12}} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=12r^2tg\frac{\pi}{12}, \ r=R\cos\frac{\pi}{12}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/12:

[math]S_{12}=3\left(2+\sqrt{3}\right)a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=12S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=\frac{1}{2}P_{12}r, \ P_{12}=12a, \ r=\frac{2+\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=3R^2, \ R=\sqrt{2+\sqrt{3}}a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_{12}=12\left(2-\sqrt{3}\right)r^2, \ r=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}R[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}[/math], [math]ctg\frac{\pi}{12}=2+\sqrt{3}.[/math]

[править] Другие многоугольники

cyclowiki.org

Двенадцатиугольник — Википедия с видео // WIKI 2

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Энциклопедичный YouTube

  • 1/5

    Просмотров:

    10 844

    49 842

    26 344

    88 234

    124 534

  • Геометрия - Построение девятиугольника и звезды

  • Геометрия - Построение восьмиугольника

  • Геометрия - Построение семиугольника и звезды

  • Как начертить угол без транспортира заданной величины.

  • Геометрия - Построение пятиугольника и звезды

Содержание

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

A=3cos⁡(π12)a2=3(2+3)a2≃11.19615242a2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A=6sin⁡(π6)R2=3R2.{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

A=12tan⁡(π12)r2=12(2−3)r2≃3.2153903r2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}&\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}}

Монеты

Британская монета в три пенса в форме додекагона

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2m{\displaystyle 2m}-угольник можно разбить на m(m−1)2{\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}} ромбов. Для додекагона m=6{\displaystyle m=6}, так что он может быть разбит на 15 ромбов.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

См. также

Ссылки

МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
{3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}
Эта страница в последний раз была отредактирована 20 мая 2018 в 16:26.

wiki2.org

Правильный двенадцатиугольник Википедия

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник[ | код]

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

A=3cos⁡(π12)a2=3(2+3)a2≃11.19615242a2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A=6sin⁡(π6)R2=3R2.{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

A=12tan⁡(π12)r2=12(2−3)r2≃3.2153903r2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}&\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}}

Монеты[ | код]

Британская монета в три пенса в форме додекагона

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки[ | код]

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно

ru-wiki.ru

Двенадцатиугольник — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный додекагон

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

<math>\begin{align} A & = 3 \cos\left( \frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left( 2+\sqrt{3} \right) a^2 & \simeq 11.19615242\,a^2. \end{align} </math>

Или, при радиусе описанной окружности R:

<math>A = 6 \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>

Или, при радиусе вписанной окружности r:

<math> \begin{align} A & = 12 \tan\left( \frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left( 2-\sqrt{3} \right) r^2 & \simeq 3.2153903\,r^2. \end{align} </math>

Монеты

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

См. также

Напишите отзыв о статье "Двенадцатиугольник"

Ссылки

  • [mathworld.wolfram.com/Dodecagon.html Додекагон] на MathWorld
  • [www.mathopenref.com/dodecagon.html Dodecagon (12-gon)]
МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
{3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

Отрывок, характеризующий Двенадцатиугольник

Эти первые дни, до 8 го сентября, – дня, в который пленных повели на вторичный допрос, были самые тяжелые для Пьера.

Х 8 го сентября в сарай к пленным вошел очень важный офицер, судя по почтительности, с которой с ним обращались караульные. Офицер этот, вероятно, штабный, с списком в руках, сделал перекличку всем русским, назвав Пьера: celui qui n'avoue pas son nom [тот, который не говорит своего имени]. И, равнодушно и лениво оглядев всех пленных, он приказал караульному офицеру прилично одеть и прибрать их, прежде чем вести к маршалу. Через час прибыла рота солдат, и Пьера с другими тринадцатью повели на Девичье поле. День был ясный, солнечный после дождя, и воздух был необыкновенно чист. Дым не стлался низом, как в тот день, когда Пьера вывели из гауптвахты Зубовского вала; дым поднимался столбами в чистом воздухе. Огня пожаров нигде не было видно, но со всех сторон поднимались столбы дыма, и вся Москва, все, что только мог видеть Пьер, было одно пожарище. Со всех сторон виднелись пустыри с печами и трубами и изредка обгорелые стены каменных домов. Пьер приглядывался к пожарищам и не узнавал знакомых кварталов города. Кое где виднелись уцелевшие церкви. Кремль, неразрушенный, белел издалека с своими башнями и Иваном Великим. Вблизи весело блестел купол Ново Девичьего монастыря, и особенно звонко слышался оттуда благовест. Благовест этот напомнил Пьеру, что было воскресенье и праздник рождества богородицы. Но казалось, некому было праздновать этот праздник: везде было разоренье пожарища, и из русского народа встречались только изредка оборванные, испуганные люди, которые прятались при виде французов.

wiki-org.ru

Двенадцатиугольник Википедия

Двенадцатиуго́льник, додекаго́н (греч. δώδεκα — двенадцать и греч. γωνία — угол) — многоугольник с 12 углами и 12 сторонами. Как правило, додекагоном называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны (в случае додекагона углы равны 150°). Правильный двенадцатиугольник используется в некоторых странах в качестве формы для монет.

Правильный двенадцатиугольник

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

A=3cos⁡(π12)a2=3(2+3)a2≃11.19615242a2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}

Или, при радиусе описанной окружности R:

A=6sin⁡(π6)R2=3R2.{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}

Или, при радиусе вписанной окружности r:

A=12tan⁡(π12)r2=12(2−3)r2≃3.2153903r2.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}&\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}}

Монеты

Британская монета в три пенса в форме додекагона

Схема построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки

Правильный двенадцатиугольник, согласно теореме Гаусса — Ванцеля, относится к многоугольникам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2m{\displaystyle 2m}-угольник можно разбить на m(m−1)2{\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}} ромбов. Для додекагона m=6{\displaystyle m=6}, так что он может быть разбит на 15 ромбов.

Разбиение правильного двенадцатиугольника

См. также

Ссылки

МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
{3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

wikiredia.ru



О сайте

Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"