Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта. Дискриминант х1 и х2


Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах2 + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b2 – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х1 = (-b - √D)/2a ,  и  х2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х2 – 4х + 4= 0.

D = 42 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х2 + х + 3 = 0.

D = 12 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х2 + 5х – 7 = 0.

D = 52 – 4 · 2 · (–7) = 81

х1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

х2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. 

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 32 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах2, затем с меньшим  – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. 

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х2 равен единице и уравнение примет вид х2 + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х2.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 62 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х1 = (-6 - 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х2 = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D1 = 32 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D2 = 22 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х1= (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х2= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Квадратные уравнения, через дискриминант 7. 4 = 20х

УСЛОВИЕ:

Квадратные уравнения, через дискриминант 7. 4 = 20х - 25х2.8. 2х = х2 +1.9. 21х + 9х2 +10 = 0.10. 36 = - 4х2.11. 5 + 4х + х2 = 0.12. 0,5х2 – 12 =0.

РЕШЕНИЕ:В квадратных скобках степень7. 20х - 25x2 - 4 = 0   Д = 20[2] - 4 * (-25) * (-4) = 400 - 400 = 0   x1,2 = -20/2 * (-25) = 2/58. х2 + 1 -2х = 0    х1 * х2 = 1    х1 + х2 = 2    х1 = 1            х2 = 19. 21х + 9х2 + 10 = 0    Д = 21[2] - 4 * 9 * 10 = 441 - 360 = 81    x1 = -21 + √81/2 * 9 = -2/311. 5 + 4x + x2 = 0     x1 * x2 = 5     x1 + x2 = -4     x1 = -5     x2 = 110 и 12 не знаю * — умножить

Похожие примеры:

  • Алгебра 8 класс. Пусть х1 и х2-корни квадратного уравнения х* +2х-5=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/х1 и 1/х2. (*-вторая степень /-дробная черта.)
  • Решить неравенство, используя метод интервалов:

    (× + 8) (х - 5) > 0

    (x - 14) (x + 10)

    (x + 25) (x - 30)

    (x + 6) (x- 6) > 0

  • Уравнение в 4 степени, решите ! 2х^4-x^3-6x^2+7x-2
  • 1) Какое наибольшее значение может принимать отношение наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю двух натуральных чисел, если сами числа относятся как 39:69 ? 2) На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа8; 20,5; 38; 125,5 и 213 в некотором порядке. Найдите N . 7) На круговой железной дороге расположены четыре станции: A, B, C, D. Расстояние между станциями A и B равно 15 км, между станциями B и C равно 10 км, между C и D — 20 км, между D и A — 20 км. Известно также, что длина всей кольцевой дороги менее 50 км. Чему равна эта длина? 10) Для скольких натуральных чисел n от 4000 до 6000 число n n является квадратом некоторого натурального числа?
  • Решите уравнение(1-2) 271.а) х3-64х=0 б) х3-3х2-3х+9=0 в) х4-3х2+ __162. а) 2х 2 7 1 1 1 1________ - ________ = ______ б) _____ - ____ = ____ - _____х2-2х+1 х3-2х2+х 3х2-3х х-5 х-7 х-1 х-33.На двух станках отштамповали 1800 деталей за 12 ч. Известно, что 180 деталей на первом станке штампуют на 1 ч. быстрее, чем на втором. Сколько деталей в час штампуют на первом стонке?34. Решите уравнение: х2-3х-1+ _______ = 0х2-3х+35.Решите уравнение x3-x2+bx+24=0, если известно, что один из его корней равен 3.

    после х-степень.

  • mathshkola.ru

    Дискриминант на 4 | Алгебра

    Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

    Формула дискриминанта, деленного на 4 —

       

    Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

    • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

         

    • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

         

    • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

    Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

       

       

    Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

       

    Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

       

       

       

    Ответ: -0,2; -3.

       

       

       

       

    Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

       

       

       

       

    Ответ: 9; 1/3.

       

       

       

       

    Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

       

    Ответ: -2 1/3.

       

       

       

       

    Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

    Ответ: нет корней.

    Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

    Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

       

       

       

       

    Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

    Ответ:

       

     

    www.algebraclass.ru

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

    Квадратным уравнением называется уравнение вида

                     ,

    где

    x - переменная,

    a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

    В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

    Формула дискриминанта: .

           О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

    • D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
    • D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
    • D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

    В общем случае корни уравнения равны:

                     .

    Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                     .

    Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                    

    В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                    

    Теорема Виета.

    Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                    ,

    то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

    В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                     .

    Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

    tehtab.ru



    О сайте

    Онлайн-журнал "Автобайки" - первое на постсоветском пространстве издание, призванное осветить проблемы радовых автолюбителей с привлечение экспертов в области автомобилестроения, автоюристов, автомехаников. Вопросы и пожелания о работе сайта принимаются по адресу: Онлайн-журнал "Автобайки"