Свойства вписанной в треугольник окружности. Центр вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.
Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле
где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.
Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.
Задача 1.
Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.
Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
BM=4 см, AM=6 см.
Найти:
Решение:
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK=AM=6 см,
BF=BM=4 см,
CK=CF=x см.
2) AB=AM+BM=6+4=10 см,
AC=AK+CK=(6+x) см,
BC=BF+CF=(4+x) см.
3) По теореме Пифагора:
По теореме Виета,
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.
4)
Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.
Задача 2.
Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
Дано:∆ ABC, ∠C=90º,
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
AB=26 см, r=4 см.
Найти:
Решение:
1) Проведем отрезки OK и OF.
(как радиусы, проведенные в точки касания).
Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).
А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.
2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,
AM=AK=x см,
BF=BM=(26-x) см,
CF=CK=r=4 см.
3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.
По теореме Пифагора,
Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.
Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.
Ответ: 120 см².
www.uznateshe.ru
Вписанная и описанная окружности [wiki.eduVdom.com]
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).
Рис.1
Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис.2).
Рис.2
Пример 1. Найти радиус окружности r, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.
Решение. В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (пример 5).
Рис.3
Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем: $$ AC^2 = AD^2 + CD^2\text{ , или }CD^2 = AC^2 - AD^2 \\ \text{, откуда } \\ CD^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \\ \text{ и, значит, } \\ CD^2 = \frac{ a\sqrt{3} }{2} \\ \text{ . Поэтому }r = \frac{a \sqrt{3} }{6} $$
Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.
Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} АВ$ (рис.4).
Рис.4
По теореме Пифагора $$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 \text{ или Рис.4 } \\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400 \\ \text{ откуда }АВ = \sqrt{400} = 20\text{ и, значит, }R = 10\text{ (см).} $$
Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Видео-решение.
wiki.eduvdom.com
Центр вписанной в треугольник окружности
Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?
Теорема.
Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.
Дано: ∆ ABC,
окр. (O; r) — вписанная.
Доказать:
O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.
Доказательство:
Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.
Соединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.
(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.
У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).
Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.
Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.
Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.
Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.
Что и требовалось доказать.
Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.
www.treugolniki.ru
Вписанный и описанный треугольник - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
,
где — полупериметр,
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .
Ответ: .
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Ответ: .
. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .
Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Вписанная окружность | Треугольники
Что такое вписанная окружность?Какими свойствами она обладает?
Определение.
Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружности касательной).
Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.
Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.
В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.
Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности (По свойству касательной, сторона описанного многоугольника перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).
По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.
Пример.
Окружность с центром в точке O и радиусом r вписана в пятиугольник ABCDE.
ABCDE — описанный пятиугольник.
O — точка пересечения биссектрис ABCD, то есть ∠EAO=∠BAO, ∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠EDO, ∠AEO=∠DEO.
Точка O равноудалена от точек касания. Расстояние от точки O до любой из сторон равно радиусу: OK=OL=ON=OM=OP=r.
Вершины ABCDE равноудалены от соответствующих точек касания:
AM=AN, BN=BL, CL=CK, DK=DP, EP=EM.
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.
Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле
где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.
Кроме основной, существуют формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в частных случаях (для правильных многоугольников, отдельных видов треугольников, трапеции, ромба и т.д.).
www.treugolniki.ru
Окружность, вписанная в треугольник | Треугольники
Что такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства?
Определение.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.
Запись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».
На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.
M, K, F- точки касания.
Свойства вписанной в треугольник окружности.
1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
AO, BO, CO — биссектрисы треугольника ABC.
2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):
3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
(как отрезки касательных, проведенные из одной точки).
www.treugolniki.ru
Свойства вписанной в треугольник окружности
В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.
Вписанная в треугольник окружность - это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности). Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.
Рисунок 1
Свойства вписанной в треугольник окружности
- Центр вписанной в треугольник окружности (на рис. 1 – точка О) лежит на пересечении биссектрис треугольника (на рис.1 – АО, ВО и СО).
- В любой треугольник вписывается окружность и притом только одна.
-
Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
Где S – это площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.
Доказательство.
- Опустим из центра окружности перпендикуляры (OL, OK и OM) к каждой из сторон треугольника ABC (рис. 2). Также из каждого угла проведем прямую к центру окружности (OA, OC и OB).
Рисунок 2
- Рассмотрим 2 треугольника AOM и AOK. Они являются прямоугольными, т.к. OM и OK – перпендикуляры к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для обоих треугольников.
- Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной к окружности), то катеты OМ и OК являются радиусами окружности и, следовательно, равны.
- Из вышесказанного следует, что прямоугольные треугольники AOМ и AOК равны по гипотенузе и катету. Т.к. треугольники равны, то углы OAМ и OAК тоже равны, отсюда следует, что OA – биссектриса угла BAC.
- Аналогичным образом доказывается, что OC – биссектриса угла ACB, а OB – биссектриса угла ABC.
- То есть биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой является центр вписанной окружности.
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство
- В треугольник можно вписать окружность только в том случае, если найдется точка равноудаленная от его сторон.
- Проведем 2 биссектрисы OA и OC. Опустим из точки их пресечения перпендикуляры (OK, OL и OM) ко всем трем сторонам треугольника ABC (рис. 3).
Рисунок 3
- Рассмотрим треугольники AOK и AOM.
- У них общая гипотенуза AO. Углы OAK и OAM равны (т.к. OA – биссектриса угла KAM). Углы OKA и OMA прямые (т.е. тоже равны), т.к. OK и OM – перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно.
- Поскольку 2 пары углов равны, то и 3-я пара (AOM и AOK) также является равной.
- Из вышенаписанного следует, что треугольники AOK и AOM равны по стороне (AO) и 2-м прилежащим к ней углам (рис. 4).
Рисунок 4
- Отсюда следует, что стороны OM и OK равны, т.е. равноудалены от сторон треугольника AC и AB соответственно.
- Аналогичным образом доказывается, что OM и OL равны, т.е. они равноудалены от сторон треугольника AC и BC соответственно.
- Из вышенаписанного следует, что точка O равноудалена от сторон треугольника, т.е. является центром вписанной окружности.
- Аналогичным образом можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности.
- Из вышенаписанного следует, что в любой треугольник можно вписать окружность.
- Следует отметить, что центр данной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
- Допустим, что в треугольник можно вписать две (или более) окружности.
- Проведя 3 отрезка из вершин треугольника к центру этой окружности и, опустив перпендикуляры из этого центра к каждой из сторон треугольника, мы сможем доказать, что эта окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника (см. доказательство первого свойства).
- То есть центр этой окружности совпадает с центром первой окружности, уже вписанной в треугольник, а ее радиус равен перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника (как и в первом случае). Это говорит о том, что данные окружности совпадают.
- Аналогичным образом можно доказать, что любая новая вписанная окружность совпадает с первой, которую мы впишем.
- То есть вписать в треугольник можно только одну окружность.
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к полупериметру p.
А также равенство:
Доказательство.
Рисунок 5
-
Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b и c (рис 5). Полупериметр данного треугольника p рассчитывается по формуле:
-
Центр нашей окружности (точка O на рис. 5) находиться на пересечении биссектрис треугольника. Отрезки OA, OB и OC, соединяющие O с вершинами треугольника АВС, делят треугольник на три: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих трех треугольников.
-
Поскольку площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA равна радиусу окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно найти как:
- Выразим площадь S треугольника ABC через сумму площадей этих трех треугольников:
-
Заметив, что второй множитель – это полупериметр треугольника ABC, можно представить наше равенство в виде:
Или - Итак, мы доказали, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру.
- Вспомним формулу Герона, которая в нашем случае будет иметь вид:
-
Теперь радиус можно выразить как:
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Скорее всего, Вам будет интересно:
people-ask.ru
